昨年12月まで勤めていた会社では市県民税が給与から差し引きされていたが、転職先では納付書で納めているのはなぜですか。

会社にお勤めで給与支払を受けている方は、前年の所得を基に課税された市県民税が勤務先の毎月の給与（6月から翌年5月までの毎月）から天引き（特別徴収）されます。
退職等により年の途中で給与の支払いを受けなくなった場合は、その給与の支払いを受けなくなった翌月以降の月分の市県民税を天引きすることができなくなりますので、天引きすることができなくなった分がご自分で納付書（又は口座振替）にて納付する方法（普通徴収）に変更されます。
新しいお勤め先の給与からの天引きに再び切り替えることは、普通徴収の納期が到来していない分については可能となりますので、転職先に普通徴収の納期が到来していない分の納付書を渡し、市役所に対する切り替え手続きを依頼してください。普通徴収の納期が過ぎてしまっている場合、その分は給与天引きに切り替えることはできません。